9.1 SymPy初步

9.1.1 初识SymPy

SymPy是一个数学符号计算库(sym代表了symbol,符号)，包括了积分、微分方程等各种数学运算方法，为Python提供了强大的数学运算支持。它保证自身的代码尽可能简单，且易于理解，容易扩展。它完全由Python写成，不依赖于外部库。

我们之所以选择SymPy，主要出于以下原因：

免费：SymPy遵循BSD开源协议。使用者可以自由地使用，修改源代码，甚至作商业用途。

基于Python: SymPy完全是用Python编写的，并使用Python作为其语言，拥有Python语言简洁、易于理解等优良特性。

轻量: SymPy只依赖于个用于任意浮点运算的纯Python库mpmath。

灵活:除了用作交互工具之外，SymPy还可以嵌入到其他应用程序中，并使用自定义函数进行扩展。

9.1.2 安装SymPy

我们可以使用conda命令或者pip命令对SymPy进行安装：

conda install sympy

pip instal sympy

安装完成，即可使用普通模块导入方法，对sympy库进行导入。为了方便起见，我们在本章开始对SymPy包下所有模块进行导入，但是为了了解各个模块的归属，我们会在新使用模块第一次出现的地方，使用from import语句对其进行二次加载，虽然这样做并不会真正地二次加载。

[1]:from sympy import *

另外，让我们在Cell [1]中继续键入下面几行代码，并运行。

init_session()

这将会给我们之后讲述带来便利。我们会在接下来的课程中对上述代码进行讲解。

9.1.3 SymPy语法

数学符号的创建

一门优秀编程语言最重要的优点之一即：贴近自然语言。SymPy尽可能地保留了原有的数学习惯，但是不可避免地在某些情况下，还需要进行额外的声明，来保证代码语义的确定性。

我们使用sympy库下的symbols函数来创建一个数学变量。

symbols函数的使用方法如下：

symbols(‘str1[, str2, …]’)

symbols的传入参数为一个或多个字符串对象，依次返回对应的sympy符号对象类型。

x

2:

[3:y, z, k=symbols(‘z k y’)

y, z, k

[3]

在这种赋值情况下，变量z，k，y对应的符号不再是’z’, ‘k’, ‘y’，而是发生了错位。这也就是说，变量的实际符号，与变量的名称无关。

符号表达式

在数学上，等号‘=’通常有两层含义，赋值与等价。当我们尝试为变量S赋值时如，我们不会认为等号的意义是等价，当我们在解含有未知量x的方程的时候，如，我们同样也不会认为等号的意义是赋值。在Python中，我们使用=代表赋值，==号代表等价，而SymPy保留了这个传统。

但是，Python中的等价与数学上的等价又有区别，Python中的等价会严格比较’==’左右的表达式结构，而数学上的等价则是比较两端化简规约后是否相等。

[4]:(x+1)**2==x**2+x*2+1

[4]:

如果您学习过Matlab或Mathematica等编程语言，那么通常我们会习惯性地用^来进行幂运算，用/来进行除法运算。在Python中双星号**代替了^的职能，^的功能是进行异或运算，而/的作用则是进行数值除法运算。

如果我们希望保留分数形式，那么我们需要使用SymPy下的Rational函数

Rational函数的用法如下：

Rational(dividend, divisor)

例

0.3333333333333333

[6]:from sympy import Rational

Rational(1, 3)

[6]:

当 SymPy遇见Python

最后我们将要探讨当SymPy数据类型与Python数据类型进行混合计算时，计算结果的数据类型问题。

当多个SymPy数据类型进行计算时，会按定义在SymPy数据类型上的操作方法进行，计算结果仍然为SymPy类型。当SymPy与Python数据类型进行混合运算需要遵循由简到繁的原则，即先Python内置数据类型要转换为SymPy数据类型，然后按照SymPy数据类型的运算规则进行计算

例

[]:Rational(Integer (1)/Integer(2))

[]:

[]:type(Rational(Integer (1)/Integer(2)))

<class 'sympy.core.numbers.Half'>

[]:Rational(Integer (1)/Integer(2))+1

[]:

[]:type(Rational(Integer (1)/Integer(2))+1)

<class 'sympy.core.numbers.Rational'>

SymPy集成了各种数学工具，在实践中，这些工具使用频繁。因此，我们通常将这些工具一次导入。

from sympy import *

9.2.1 基本操作

在这里，我们讨论一些最基本的手术需要的表现手法和症状（？）。高级表达式操作部分稍后将讨论一些更高级的操作。

为了讲解方便，我们先创建三个符号变量。

>>>x, y, z=symbols(“ x y z”)

替换

使用数学表达式最常见的一种方法是替换。替换将表达式中某物的所有实例替换为另一物。这是使用symbols对象的subs方法完成的。

普通替换

[]:expr=cos(x)+sin(pi/2)

expr.subs(x, pi/2)

[]:

例：循环替换，执行5次除法嵌套

[]:expr=1/(1+x)

for i in range(5): expr=expr.subs(x, 1/(1+x))

expr

[]:

字符串转为SymPy表达式

使用simpify函数，可以将字符串类型的表达式转为SymPy表达式

[]:str_expr=’x**2+2*x+1’

expr=sympify(str_expr)

expr

[]:

表达式求值

使用exalf(precision)可以对数值表达式求值，precision为小数保留位数，precision默认为15。

[]:expr=sqrt(13)

expr.evalf(13)

[]:

使用NumPy和SciPy计算

尽管subs和evalf可以很好的帮助我们进行计算，但是如果我们希望同时代入大量参数到一个公式进行计算，那么这时候你可能就忍受不了SymPy的运行效率了。

另外SymPy在计算精度上不如NumPy和SciPy，如果对机器精度有较高的要求的话，应该使用NumPy或SciPy这样的库。

将一个SymPy符号表达式转换成一个数值计算表达式最简单的方法是使用lambdify函数。lambdify的作用类似于lambda函数，只不过它将SymPy名称转换为特定数值库的名称，通常是NumPy。（？）

lambdify()函数用于转换表达式进行数值计算时需要指定三个参数，分别是变量，表达式和数值库。

例 将符号表达sin(x)+cos(x) 转为函数，并分别将0~9十个整数代入计算。

[]:import numpy

arr=numpy.arange(10)

expr=sin(x)+cos(x)

f=lambdify(x, expr, 'numpy')

type(f)

[]:function

[]:f(arr)

[]:array([ 1. , 1.38177329, 0.49315059, -0.84887249, -1.41044612, -0.67526209,

0.68075479, 1.41088885, 0.84385821, -0.49901178])

9.2.2 打印

通过前面的例子，我们可以发现，Jupyter Lab可以对SymPy符号进行优美地展现。事实上，我们还可以通过自定义打印机，来根据我们实际需求打印不同风格的数学符号。常用的打印机有str，srepr，ASCII，Unicode，LaTex， MathML，Dot。

我们可以使用init_print()函数自动启用环境中可用的最佳打印机以获得最好的打印效果。下面让我们尝试在默认Python解释器中输出下列积分符号：

>>>from sympy import *

>>>x=symbols(‘x’)

>>>Integral(sqrt(1/x), x)

>>>init_printing()

>>>Integral(sqrt(1/x), x)

输出结果如图所示

图

如果在交互式计算器类型的会话中工作，init_session()函数将自动导入SymPy中的所有内容，与此同时，创建一些公共符号，设置绘图，并运行init_printing()。如图所示

图

此外，还需要注意以下几点：

1. 如果LATEX被安装，那么在Ipython QTConsole中，打印机将使用Latex

2. 要显式地不使用LATEX，请将use_latex=False传递给init_printing()或init_session()。要显式地不使用Unicode，传递use_unicode=False。

3. 在IPython控制台会话或常规Python会话中，如果终端支持Unicode，它将使用Unicode pretty打印机。在不支持Unicode的终端中，使用ASCII pretty打印机。

9.2.3 绘图

绘图模块允许您制作二维和三维绘图。目前，这些绘图是使用matplotlib作为后端呈现的。如果没有matplotlib，也可以使用textback绘制二维图。

表[]列举了本节所用到的plot, plot_parametric, plot3d, plot3d_parametric函数的通用参数及其功能描述，在sympy.plotting模块中可以导入这些绘图函数，在实际绘图中，我们可以改变相应参数的取值来绘制不同的图形。如果您使用过Mathematica或者Matlab这些专业数学软件，会发现SymPy中存在大量与Mathematica和Matlab中同名的函数。这不仅仅表现在SymPy的绘图模块上，也表现在SymPy的积分，微分等模块。

表[]

参数	描述
title	字符串，标题
xlabel	字符串，x轴坐标，
ylabel	字符串，y轴坐标
legend	布尔类型，显示图例
xscale	{‘linear’,’log’} ，设置x轴范围，
yscale	{‘linear’,’log’}，设置y轴范围
axis	布尔类型，显示坐标轴
axis_center	浮点型二元组或{‘center’, ‘auto’}
xlim	浮点型，x轴的极限
yim	浮点型，y轴的极限
aspect_ratio	浮点型二元组或{‘auto’}
autoscale:	布尔类型
margin	0~1之间的浮点数，图边距

二维图形

我们使用SymPy绘制的图形都是在特定的画布上展现的，画布上可以展示一张图也可以同时展示多张图。由于不同图形的范围不同，在同一画布上展示多种图形的时候不同图形的绘图范围也会不同。我们在对SymPy中的绘图函数进行讲解时，按照从单图到多图，从同一画布同范围到同一画布不同范围的方式进行展开。

一元函数

使用plot函数可以绘制一元函数代表的二维图形。

Plot()函数的用法如下：

单图

plot(expr, range, **kwargs)

一张画布显示同范围多图

plot(expr1, expr2, ..., range, **kwargs)

一张画布显示不同范围多图

plot((expr1, range), (expr2, range), ..., **kwargs)

例：在统一张画布中绘制函数与，其中

[]:from sympy.plotting import plot

[]:p1=plot(x**(-1), (x, -3, 3), ylim=(0, 10), show=False)

p2=plot(x, (x, -3, 3), show=False)

p1.append(p2[0])

p1.show()

C:\Users\Johan\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCache\Content.MSO\11904061.tmp

在绘制图形的时候，变量p1存储的图形对象, p2存储的图形对象。如果将plot()函数中的show参数改为True，则会在创建plot对象的同时，显示plot图像。使用append方法可以将其他图形增加到已有图形对象的画布中去，使用show()方法可以显示图形对象。plot函数和其他绘图函数一样，默认返回一个列表，其中第0号元素存储第一个图形。因此在使用append方法追加p2列表对象存储的图形时，一定要指定图形所在的位置。在上例中同一样被分别存储在列表p1和p2的第0号位置。

例：在同张画布中绘制函数，其中

[]:x=symbols('x')

p1=plot(x**(-1),ylim=(0, 10), show=False)

p2=plot(x**(1/2), show=False)

p3=plot(x, show=False)

p4=plot(x**2, show=False)

p5=plot(x**3, show=False)

p1.append(p2[0])

p1.extend(p3)

p1.extend(p4)

p1.extend(p5)

p1.show()

使用extend方法可以将向extend方法中传入的列表对象中的图形元素全部追加到目标图形列表后。

C:\Users\Johan\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCache\Content.MSO\3BAEC217.tmp

例：做出的函数趋势图。并将图形取名为graph of functions。

[]:plot(x**(-1), log(x), x, x*log(x), x**2, x**3, (x, -3, 3), ylim=(0, 10), lengend=True, title='graph of functions')

C:\Users\Johan\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCache\Content.MSO\9F5F5D9.tmp

[]:<sympy.plotting.plot.Plot at 0x141d0400>

参数方程

SymPy中的plot_parametric()函数可以绘制参数方程代表的二维图形。

plot_parametric()函数的用法如下：

单图

plot_parametric(expr_x, expr_y, range, **kwargs)

一张画布显示同范围多图

plot_parametric((expr1_x, expr1_y), (expr2_x, expr2_y), range, **kwargs)

一张画布显示不同范围多图

plot_parametric((expr_x, expr_y, range), ..., **kwargs)

例：画出参数方程的图像

[]:from sympy.plotting import plot_parametric

[]:plot_parametric(cos(x), sin(x))

C:\Users\Johan\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCache\Content.MSO\2E5C2187.tmp

[]:<sympy.plotting.plot.Plot at 0x1430a588>

例：画出参数方程与

[]:plot_parametric((cos(x), sin(x)), (x, cos(x)))

C:\Users\Johan\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCache\Content.MSO\3052DC35.tmp

[]:<sympy.plotting.plot.Plot at 0xbb0f6d8>

三维图形

二元函数

使用plot3d函数可以绘制二元函数代表的三维图形。

plot3d ()函数的用法如下：

plot3d(expr, range_x, range_y, **kwargs)

一张画布显示同范围多图

plot3d(expr1, expr2, range_x, range_y, **kwargs)

一张画布显示不同范围多图

plot3d((expr1, range_x, range_y), (expr2, range_x, range_y), ..., **kwargs)

例：画出函数的图像，其中

[]:from sympy.plotting import plot3d

[]:plot3d(x**2*y, (x, -5, 5), (y, -5, 5))

C:\Users\Johan\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCache\Content.MSO\9C87D10B.tmp

[]:<sympy.plotting.plot.Plot at 0x17364eb8>

例：画出函数与的组合图像，其中

[]:plot3d(x**2+y**2, x**2-y**2, (y, -5, 5))

C:\Users\Johan\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCache\Content.MSO\DC4A5A51.tmp

[]:<sympy.plotting.plot.Plot at 0x17238e10>

参数方程

空间曲线

使用plot3d_parametric_line函数可以绘制参数方程代表的三维图形。

plot3d_parametric_line的用法如下：

单图

plot3d_parametric_line(expr_x, expr_y, expr_z, range_u, range_v, **kwargs)

一张画布显示不同范围多图

plot3d_parametric_line((expr_x, expr_y, expr_z, range_u, range_v), ..., **kwargs)

例：绘制螺旋线

[]:from sympy.plotting import plot3d_parametric_line

[]:plot3d_parametric_line(x,sin(6*x)*x/3,cos(6*x)*x/5,(x,0,6*pi))

C:\Users\Johan\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCache\Content.MSO\2D800C2D.tmp

[]:<sympy.plotting.plot.Plot at 0x18f410f0>

空间曲面

使用plot3d_parametric_surface函数可以绘制参数方程代表的三维图形。

plot3d_parametric_surface的用法如下：

单图

plot3d_parametric_surface(expr_x, expr_y, expr_z, range_u, range_v, **kwargs)

一张画布显示不同范围多图

plot3d_parametric_surface((expr_x, expr_y, expr_z, range_u, range_v), ..., **kwargs)

例：绘制的图像。

[]:from sympy.plotting import plot3d_parametric_surface

[]:plot3d_parametric_surface(cos(x + y), sin(x - y), x - y, (x, -5, 5), (y, -5, 5))

[]:

[]:<sympy.plotting.plot.Plot at 0xbe42550>