9.2 SymPy基础
9.3.1 化简
使用simplify()函数可以对表达式进行化简，simplify()函数以字符表达式类型作为传入参数，以SymPy表达式类型返回表达式的化简结果。
[]:expr=(x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1)
simplify(expr)
9.3.2 展开
多项式展开
使用expand()函数可以对多项式进行展开，expand()函数以多项式类型作为传入参数，以SymPy表达式类型返回多项式的化简结果。
[]:expr=(1+2*x+4*y)**3
expand(expr)
三角展开
使用expand_trig()函数可以对三角多项式进行展开，expand_trig()函数以三角多项式类型作为传入参数，以SymPy表达式类型返回多项式的化简结果。
[]:expr=sin(2*x)+cos(2*x)
expand_trig(expr)
9.3.3 因式分解
使用factor()函数可以对符号表达式进行因式分解，factor()函数以字符表达式类型作为传入参数，以字符表达式类型返回因式分解结果。
[]:expr=x**3-x**2+x-1
factor(expr)
9.3.4 合并同类项
使用collect()函数可以对符号表达式进行同类项合并，collect()函数以字符表达式类型作为传入参数，以字符表达式类型返回同类项合并结果结果。使用expr.collect.coeff(expr, n)可以返回前的系数。
[]:expr = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3
collected_expr=collect(expr, x)
collected_expr
[]:collected_expr.coeff(x,2)
9.3.5 解一元方程
使用solveset()函数可以对一元方程进行求解，solveset()函数以字符表达式类型作为传入参数，以集合类型返回一元方程的解。
[]:solveset((x+1)*(x+3)-15, x)
Eq()函数用来创建一个等式，eq()函数接受两个参数，分别为等号的左右两侧数学表达式。
[]:Equ=Eq((x+1)*(x+3), 15)
solveset(Equ, x)
9.3.6 解方程组
线性系统
使用linsolve()函数可以对线性系统方程组进行求解。
linsolve()函数的用法如下：
sympy.solvers.solveset.linsolve(system, *symbols)
其中system代之线性系统也即需要解的线性方程组。*symbols为需要求解的变量。求解结果以集合的形式给出。
例：求解线性系统
[]:linsolve([3*x+2*y+z-39, 2*x+3*y+z-34, x+2*y+3*z-26], (x, y, z))
非线性系统
使用nonlinsolve()函数可以对线性系统方程组进行求解。
nonlinsolve()函数的用法如下：
sympy.solvers.solveset.linsolve(system, *symbols)
其中system代之线性系统也即需要解的非线性方程组。*symbols为需要求解的变量。求解结果以集合的形式给出。
例：求解非线性系统
[]:nonlinsolve([x**2+4*y**2-5, x+2*y-1], x, y)
9.3.7 解不等式
解带有有理系数的有理不等式
针对有带有有理系数的有理不等式，SymPy在sympy.solvers.inequalities模块中封装了solve_poly_inequality()函数来求解此类不等式。
使用如下语句导入solve_poly_inequality()函数：
from sympy.solvers.inequalities import solve_rational_inequality
例：解不等式组
[]:solve_rational_inequalities([[
... ((Poly(-x + 1), Poly(1, x)), '>='),
... ((Poly(-x + 1), Poly(1, x)), '<=')]])
例：解不等式组
[]:solve_rational_inequalities([[
... ((Poly(x), Poly(1, x)), '!='),
... ((Poly(-x + 1), Poly(1, x)), '>=')]])
解带有理数系数的多项不等式
在对使用SymPy解带有有理系数的多项不等式进行讲解之前，我们首先需要介绍一个特殊的函数——Ploy。
Ploy()用于表示多项式表达式并对其进行操作的泛型类，是Expr类的子类。
Ploy()函数的使用方式如下：
Poly**(rep,** *gens**,** **args**)**
使用如下语句导入Poly函数：
针对有带有有理系数的有理不等式，SymPy在sympy.solvers.inequalities模块中封装了solve_poly_inequality()函数来求解此类不等式。
使用如下语句导入solve_poly_inequality()函数：
from sympy.solvers.inequalities import solve_poly_inequality
例：解不等式组
[]:>>> solve_poly_inequality(Poly(x**2 - 1, x, domain='ZZ'), '!=')
例：解方程
[]:solve_rational_inequalities([[
... ((Poly(-x + 1), Poly(1, x)), '!='),
... ((Poly(-x + 1), Poly(1, x)), '<=')]])
解实数单变量不等式
针对实数单变量不等式，SymPy在sympy.solvers.inequalities模块中封装了solve_ univariate _inequality()函数来求解此类不等式。
使用如下语句导入solve_ univariate _inequality()函数：
from sympy.solvers.inequalities import solve_ univariate _inequality
例：解不等式
[]:solve_univariate_inequality(x**2 >= 4, x, relational=False)
Union(Interval(-oo, -2), Interval(2, oo))
例：解不等式
[]:solve_univariate_inequality(x**3+2*x**2 -3*x>= 4, x, relational=False)
例：解不等式
[]:domain = Interval(0, S.Infinity)
solve_univariate_inequality(x**3+2*x**2 -3*x>= 4, x, False, domain)
例：解三角不等式
[]:solve_univariate_inequality(sin(x)**2> 0, x, relational=False)
化简带有有理系数的有理数多项式
[]:from sympy import Poly, Symbol
from sympy.solvers.inequalities import reduce_rational_inequalities
x = Symbol('x', real=True)
例：化简
[]:reduce_rational_inequalities([[x**2 <= 0]], x)
例：化简
[]:reduce_rational_inequalities([[x + 2 > 0]], x)
[]:reduce_rational_inequalities([[(x + 2, ">")]], x)
[]:reduce_rational_inequalities([[x + 2]], x)
化简带有绝对值的不等式
[]:from sympy import Abs, Symbol
from sympy.solvers.inequalities import reduce_abs_inequality
x = Symbol('x', real=True)
[]:reduce_abs_inequality(Abs(x - 5) - 3, '<', x)
[]:reduce_abs_inequality(Abs(x + 2)*3 - 13, '<', x)
化简带有绝对值的不等式系统
[]:from sympy import Abs, Symbol
from sympy.solvers.inequalities import reduce_abs_inequality
x = Symbol('x', real=True)
例：化简
[]:reduce_abs_inequalities([(Abs(3*x - 5) - 7, '<'),
... (Abs(x + 25) - 13, '>')], x)
例：化简
[]:reduce_abs_inequalities([(Abs(x - 4) + Abs(3*x - 5) - 7, '<')], x)
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