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# 3.4 基础数学

## 3.4.1 化简

使用simplify()函数可以对表达式进行化简，simplify()函数以字符表达式类型作为传入参数，以SymPy表达式类型返回表达式的化简结果。

例：化简多项式$$\frac{x^3 + x^2 -x -1}{x^2 + 2\*x +1}$$

\[]:expr=(x\*\*3 + x\*\*2 - x - 1)/(x\*\*2 + 2\*x + 1)

simplify(expr)

\[]: ![](/files/rbz56jCvtQcTg0kOjRxX)

## 3.4.2 展开

### 多项式展开

使用expand()函数可以对多项式进行展开，expand()函数以多项式类型作为传入参数，以SymPy表达式类型返回多项式的化简结果。

例：展开多项式$$(1+2x+4y)^3$$

```python
>>>   []:expr=(1+2\*x+4\*y)\*\*3
>>>   expand(expr)
```

\[]: ![](/files/0FNiZVXE4ipFUcMVPaWD)

### 三角展开

使用expand\_trig()函数可以对三角多项式进行展开，expand\_trig()函数以三角多项式类型作为传入参数，以SymPy表达式类型返回多项式的化简结果。

例：对多项式$$\sin{2x}+\cos{2x}$$进行三角展开

\[]:expr=sin(2\*x)+cos(2\*x)

expand\_trig(expr)

\[]: ![](/files/4ycOFl6fqrpLwxGu06vS)

## 3.4.3 因式分解

使用factor()函数可以对符号表达式进行因式分解，factor()函数以字符表达式类型作为传入参数，以字符表达式类型返回因式分解结果。

例：对多项式$$x^3-x^2+x-1$$进行因式分解

\[]:expr=x\*\*3-x\*\*2+x-1

factor(expr)

\[]: ![](/files/4nvkGeXqzH0w8bQ6fZ3L)

## 3.4.4 合并同类项

使用collect()函数可以对符号表达式进行同类项合并，collect()函数以字符表达式类型作为传入参数，以字符表达式类型返回同类项合并结果结果。使用expr.collect.coeff(expr, n)可以返回前的系数。

例：对多项式$$xy + x - 3 + 2x^2 - zx^2 + x^3$$进行因式分解

```python
[]:expr = x\*y + x - 3 + 2\*x\*\*2 - z\*x\*\*2 + x\*\*3

collected_expr=collect(expr, x)

collected_expr
```

\[]: ![](/files/rPEg56H5tAmJ5ZhVugU2)

```python
[]:collected\_expr.coeff(x,2)
```

\[]: ![](/files/Yy3mQpcpAKwMQPmJQzU1)

## 3.4.5 解一元方程

使用solveset()函数可以对一元方程进行求解，solveset()函数以字符表达式类型作为传入参数，以集合类型返回一元方程的解。

例：解一元方程$$(x+1)(x+3) = 15$$

```python
[]:solveset((x+1)\*(x+3)-15, x)
```

\[]: ![](/files/KIWQSmqIvKu8xi9RZYbV)

Eq()函数用来创建一个等式，eq()函数接受两个参数，分别为等号的左右两侧数学表达式。

\[]:Equ=Eq((x+1)\*(x+3), 15)

solveset(Equ, x)

\[]: ![](/files/KIWQSmqIvKu8xi9RZYbV)

## 3.4.6 解方程组

### 线性系统

使用linsolve()函数可以对线性系统方程组进行求解。

linsolve()函数的用法如下：

```python
sympy.solvers.solveset.linsolve(system, \*symbols)
```

其中system代之线性系统也即需要解的线性方程组。\*symbols为需要求解的变量。求解结果以集合的形式给出。

例：求解线性系统$$\begin{cases} 3x + 2y + z & = 39 \ 2x + 3y + z & = 34 \ x + 2y + 3z & = 26 \end{cases}

$$$
`python []:linsolve([3*x+2*y+z-39, 2*x+3*y+z-34, x+2*y+3*z-26], (x, y, z)) ` \[]: ![](../media/7667729dc84ce930c6f3b0f36698ad25.png) ### 非线性系统 使用nonlinsolve()函数可以对线性系统方程组进行求解。 nonlinsolve()函数的用法如下： `python sympy.solvers.solveset.linsolve(system, \*symbols) ` 其中system代之线性系统也即需要解的非线性方程组。\*symbols为需要求解的变量。求解结果以集合的形式给出。 例：求解非线性系统 `python []:nonlinsolve([x\*\*2+4\*y\*\*2-5, x+2\*y-1], x, y) ` \[]: ![](../media/7e3a25639cd09e0e676a25235e00424b.png) ## 3.4.7 解不等式 ### 解带有有理系数的有理不等式 针对有带有有理系数的有理不等式，SymPy在sympy.solvers.inequalities模块中封装了solve\_poly\_inequality()函数来求解此类不等式。 使用如下语句导入solve\_poly\_inequality()函数： `python from sympy.solvers.inequalities import solve\_rational\_inequality ` 例：解不等式组 `python []:solve\_rational_inequalities([[ ... ((Poly(-x + 1), Poly(1, x)), '\>='), ... ((Poly(-x + 1), Poly(1, x)), '\<=')]]) ` 例：解不等式组 `python []:solve\_rational_inequalities([[ ... ((Poly(x), Poly(1, x)), '!='), ... ((Poly(-x + 1), Poly(1, x)), '\>=')]]) ` ### 解带有理数系数的多项不等式 在对使用SymPy解带有有理系数的多项不等式进行讲解之前，我们首先需要介绍一个特殊的函数——Ploy。 Ploy()用于表示多项式表达式并对其进行操作的泛型类，是Expr类的子类。 Ploy()函数的使用方式如下： `python Poly**(**rep**,** **\***gens**,** **\*\***args**)** ` 使用如下语句导入Poly函数： 针对有带有有理系数的有理不等式，SymPy在sympy.solvers.inequalities模块中封装了solve\_poly\_inequality()函数来求解此类不等式。 使用如下语句导入solve\_poly\_inequality()函数： `python from sympy.solvers.inequalities import solve_poly_inequality ` 例：解不等式组 `python []:>>> solve_poly_inequality(Poly(x\*\*2 - 1, x, domain='ZZ'), '!=') ` \[]: ![](../media/d38ad1634f9caf5497070bac686c648a.png) 例：解方程 `python []:solve\_rational_inequalities([[ ... ((Poly(-x + 1), Poly(1, x)), '!='), ... ((Poly(-x + 1), Poly(1, x)), '\<=')]]) ` \[]:![](../media/311cc66a57a62c6e28172a41f5d2423a.png) ### 解实数单变量不等式 针对实数单变量不等式，SymPy在sympy.solvers.inequalities模块中封装了solve\_ univariate \_inequality()函数来求解此类不等式。 使用如下语句导入solve\_ univariate \_inequality()函数： from sympy.solvers.inequalities import solve\_ univariate \_inequality 例：解不等式 $$ x^2 \leq 4 $$ `python []:solve\_univariate_inequality(x\*\*2 \>= 4, x, relational=False) Union(Interval(-oo, -2), Interval(2, oo)) ` \[]: ![](../media/60b20d62806d36a6f306b0881938396c.png) 例：解不等式 $$ x^3+2x^2 -3x \ge 4 $$ `python []:solve\_univariate_inequality(x\*\*3+2\*x\*\*2 -3\*x\>= 4, x, relational=False) ` \[]: ![](../media/d4be1383e32bd325353380d3d64bf6ff.png) 例：解不等式 $$ x^3+2x^2 -3x \ge 4 $$ `python []:domain = Interval(0, S.Infinity) solve_univariate\_inequality(x\*\*3+2\*x\*\*2 -3\*x\>= 4, x, False, domain) ` \[]: ![](../media/cb53c03cfae57e745d8d418e2a6a2cbb.png) 例：解三角不等式 $$ \sin x^2 \lt 0 $$ `python []:solve\_univariate_inequality(sin(x)\*\*2\> 0, x, relational=False) ` \[] ![](../media/c18b39ee0174bb6b63a4c56bffce5b74.png) ### 化简带有有理系数的有理数多项式 `python []:from sympy import Poly, Symbol from sympy.solvers.inequalities import reduce_rational_inequalities x = Symbol('x', real=True) ` 例：化简 `python []:reduce\_rational_inequalities([[x\*\*2 \<= 0]], x) ` 例：化简 `python []:reduce\_rational_inequalities([[x + 2 \> 0]], x) ` \[]:![](../media/ae138aa4226e3db35f5932d7640832aa.png) `python []:reduce\_rational_inequalities([[(x + 2, "\>")]], x) ` \[]:![](../media/5f41eb20d49398cc2233161f536c7c4d.png) `python []:reduce\_rational_inequalities([[x + 2]], x) ` \[]:![](../media/b967aaa96e79c4bdda7a3d542e790ba8.png) ### 化简带有绝对值的不等式 `python []:from sympy import Abs, Symbol from sympy.solvers.inequalities import reduce_abs_inequality x = Symbol('x', real=True) ` 例：化简不等式$$|x-5|-3 \lt 0 $$ `python []:reduce\_abs_inequality(Abs(x - 5) - 3, '\<', x) ` \[]:![](../media/1054165365a5201c79213c9b272c4e49.png) 例：化简不等式$$|x+2|\times 3-13< 0$$ `python []:reduce\_abs_inequality(Abs(x + 2)\*3 - 13, '\<', x) ` \[]:![](../media/c6ebdec6c964350e93bc6d36f53b35bf.png) ### 化简带有绝对值的不等式系统 `python []:from sympy import Abs, Symbol from sympy.solvers.inequalities import reduce_abs_inequality x = Symbol('x', real=True) ` 例：化简$$g(x)= \begin{cases} |3x-5|-7, & \lt 0 \ |x+25|-13 , & \gt 0 \end{cases}
$$$

\[]:reduce\_abs\_inequalities(\[(Abs(3\*x - 5) - 7, '<'),

... (Abs(x + 25) - 13, '>')], x)

\[]:![](/files/QhaedDLrgfWGUswMB6pZ)

例：化简 $$|x - 4| + |3x - 5| - 7 \lt 0$$

```python
[]:reduce\_abs_inequalities([(Abs(x - 4) + Abs(3\*x - 5) - 7, '\<')], x)
```

\[]:![](/files/l1AH6rdYesdulWcUb8z8)


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