3.4 基础数学

3.4.1 化简

使用simplify()函数可以对表达式进行化简，simplify()函数以字符表达式类型作为传入参数，以SymPy表达式类型返回表达式的化简结果。

例：化简多项式$\frac{x^3 + x^2 -x -1}{x^2 + 2*x +1}$

[]:expr=(x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1)

simplify(expr)

[]:

3.4.2 展开

多项式展开

使用expand()函数可以对多项式进行展开，expand()函数以多项式类型作为传入参数，以SymPy表达式类型返回多项式的化简结果。

例：展开多项式$(1+2x+4y)^3$

>>>   []:expr=(1+2\*x+4\*y)\*\*3
>>>   expand(expr)

[]:

三角展开

使用expand_trig()函数可以对三角多项式进行展开，expand_trig()函数以三角多项式类型作为传入参数，以SymPy表达式类型返回多项式的化简结果。

例：对多项式$\sin{2x}+\cos{2x}$进行三角展开

[]:expr=sin(2*x)+cos(2*x)

expand_trig(expr)

[]:

3.4.3 因式分解

使用factor()函数可以对符号表达式进行因式分解，factor()函数以字符表达式类型作为传入参数，以字符表达式类型返回因式分解结果。

例：对多项式$x^3-x^2+x-1$进行因式分解

[]:expr=x**3-x**2+x-1

factor(expr)

[]:

3.4.4 合并同类项

使用collect()函数可以对符号表达式进行同类项合并，collect()函数以字符表达式类型作为传入参数，以字符表达式类型返回同类项合并结果结果。使用expr.collect.coeff(expr, n)可以返回前的系数。

例：对多项式$xy + x - 3 + 2x^2 - zx^2 + x^3$进行因式分解

[]:expr = x\*y + x - 3 + 2\*x\*\*2 - z\*x\*\*2 + x\*\*3

collected_expr=collect(expr, x)

collected_expr

[]:

[]:collected\_expr.coeff(x,2)

[]:

3.4.5 解一元方程

使用solveset()函数可以对一元方程进行求解，solveset()函数以字符表达式类型作为传入参数，以集合类型返回一元方程的解。

例：解一元方程$(x+1)(x+3) = 15$

[]:solveset((x+1)\*(x+3)-15, x)

[]:

Eq()函数用来创建一个等式，eq()函数接受两个参数，分别为等号的左右两侧数学表达式。

[]:Equ=Eq((x+1)*(x+3), 15)

solveset(Equ, x)

[]:

3.4.6 解方程组

线性系统

使用linsolve()函数可以对线性系统方程组进行求解。

linsolve()函数的用法如下：

sympy.solvers.solveset.linsolve(system, \*symbols)

其中system代之线性系统也即需要解的线性方程组。*symbols为需要求解的变量。求解结果以集合的形式给出。

例：求解线性系统$$\begin{cases} 3x + 2y + z & = 39 \ 2x + 3y + z & = 34 \ x + 2y + 3z & = 26 \end{cases}

```python []:linsolve([3*x+2*y+z-39, 2*x+3*y+z-34, x+2*y+3*z-26], (x, y, z)) ``` \[\]:  ### 非线性系统 使用nonlinsolve()函数可以对线性系统方程组进行求解。 nonlinsolve()函数的用法如下： ```python sympy.solvers.solveset.linsolve(system, \*symbols) ``` 其中system代之线性系统也即需要解的非线性方程组。\*symbols为需要求解的变量。求解结果以集合的形式给出。 例：求解非线性系统 ```python []:nonlinsolve([x\*\*2+4\*y\*\*2-5, x+2\*y-1], x, y) ``` \[\]:  ## 3.4.7 解不等式 ### 解带有有理系数的有理不等式 针对有带有有理系数的有理不等式，SymPy在sympy.solvers.inequalities模块中封装了solve_poly_inequality()函数来求解此类不等式。 使用如下语句导入solve\_poly_inequality()函数： ```python from sympy.solvers.inequalities import solve\_rational\_inequality ``` 例：解不等式组 ```python []:solve\_rational_inequalities([[ ... ((Poly(-x + 1), Poly(1, x)), '\>='), ... ((Poly(-x + 1), Poly(1, x)), '\<=')]]) ``` 例：解不等式组 ```python []:solve\_rational_inequalities([[ ... ((Poly(x), Poly(1, x)), '!='), ... ((Poly(-x + 1), Poly(1, x)), '\>=')]]) ``` ### 解带有理数系数的多项不等式 在对使用SymPy解带有有理系数的多项不等式进行讲解之前，我们首先需要介绍一个特殊的函数——Ploy。 Ploy()用于表示多项式表达式并对其进行操作的泛型类，是Expr类的子类。 Ploy()函数的使用方式如下： ```python Poly**(**rep**,** **\***gens**,** **\*\***args**)** ``` 使用如下语句导入Poly函数： 针对有带有有理系数的有理不等式，SymPy在sympy.solvers.inequalities模块中封装了solve_poly_inequality()函数来求解此类不等式。 使用如下语句导入solve\_poly_inequality()函数： ```python from sympy.solvers.inequalities import solve_poly_inequality ``` 例：解不等式组 ```python []:>>> solve_poly_inequality(Poly(x\*\*2 - 1, x, domain='ZZ'), '!=') ``` []:  例：解方程 ```python []:solve\_rational_inequalities([[ ... ((Poly(-x + 1), Poly(1, x)), '!='), ... ((Poly(-x + 1), Poly(1, x)), '\<=')]]) ``` []: ### 解实数单变量不等式 针对实数单变量不等式，SymPy在sympy.solvers.inequalities模块中封装了solve\_ univariate \_inequality()函数来求解此类不等式。 使用如下语句导入solve\_ univariate \_inequality()函数： from sympy.solvers.inequalities import solve\_ univariate \_inequality 例：解不等式 $$ x^2 \leq 4 $$ ```python []:solve\_univariate_inequality(x\*\*2 \>= 4, x, relational=False) Union(Interval(-oo, -2), Interval(2, oo)) ``` \[\]:  例：解不等式 $$ x^3+2x^2 -3x \ge 4 $$ ```python []:solve\_univariate_inequality(x\*\*3+2\*x\*\*2 -3\*x\>= 4, x, relational=False) ``` \[\]:  例：解不等式 $$ x^3+2x^2 -3x \ge 4 $$ ```python []:domain = Interval(0, S.Infinity) solve_univariate\_inequality(x\*\*3+2\*x\*\*2 -3\*x\>= 4, x, False, domain) ``` []:  例：解三角不等式 $$ \sin x^2 \lt 0 $$ ```python []:solve\_univariate_inequality(sin(x)\*\*2\> 0, x, relational=False) ``` []  ### 化简带有有理系数的有理数多项式 ```python []:from sympy import Poly, Symbol from sympy.solvers.inequalities import reduce_rational_inequalities x = Symbol('x', real=True) ``` 例：化简 ```python []:reduce\_rational_inequalities([[x\*\*2 \<= 0]], x) ``` 例：化简 ```python []:reduce\_rational_inequalities([[x + 2 \> 0]], x) ``` []: ```python []:reduce\_rational_inequalities([[(x + 2, "\>")]], x) ``` []: ```python []:reduce\_rational_inequalities([[x + 2]], x) ``` []: ### 化简带有绝对值的不等式 ```python []:from sympy import Abs, Symbol from sympy.solvers.inequalities import reduce_abs_inequality x = Symbol('x', real=True) ``` 例：化简不等式$$|x-5|-3 \lt 0 $$ ```python []:reduce\_abs_inequality(Abs(x - 5) - 3, '\<', x) ``` []: 例：化简不等式$$|x+2|\times 3-13< 0$$ ```python []:reduce\_abs_inequality(Abs(x + 2)\*3 - 13, '\<', x) ``` []: ### 化简带有绝对值的不等式系统 ```python []:from sympy import Abs, Symbol from sympy.solvers.inequalities import reduce_abs_inequality x = Symbol('x', real=True) ``` 例：化简$$g(x)= \begin{cases} |3x-5|-7, & \lt 0 \\ |x+25|-13 , & \gt 0 \end{cases}

[]:reduce_abs_inequalities([(Abs(3*x - 5) - 7, '<'),

... (Abs(x + 25) - 13, '>')], x)

[]:

例：化简 $|x - 4| + |3x - 5| - 7 \lt 0$

[]:reduce\_abs_inequalities([(Abs(x - 4) + Abs(3\*x - 5) - 7, '\<')], x)

[]: