4.2 微分

4.2.1 一阶导数

例：使用定义法求函数$f(x)=2013x^2$的导数。

[]:f=Lambda(x, 2013\*x\*\*2)

limit((f(x+t)-f(x))/t, t, 0, '+')

[]:4026

我们在前边分别使用两个函数来计算一个分段函数，目的是熟悉函数创建方法。然而使用这种方法创建分段函数，不仅更麻烦，而且不合数学逻辑。通过使用Piecewise函数，我们可以创建数学意义上的分段函数。使用替换方法subs可以对未知变量进行替换，通常用来求值。

例：已知函数$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}(x^2+1) & (x\le 1) \\ \frac{1}{2}(x+1) & (x\gt 1) \end{cases}$判断$f(x)$在$x=1$处是否可导。

[]:f=Piecewise((Rational(1/2)\*(x\*\*2+1),x\<=1), (Rational(1/2)\*(x+1),x\>1))

limit((f.subs(x, 1+t)-f.subs(x, 1))/t, t, 0, '-'),limit((f.subs(x,
1+t)-f.subs(x, 1))/t, t, 0, '+')

[]:(1, 1/2)

例：用定义法求$$ f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, & x\ne 0 \ 0, & x = 0 \end{cases}