4.8 重积分

4.8.1 重积分的计算

在Integrate()函数中嵌套多层Integrate()函数可以对重积分进行计算。

例：计算积分$\int_{0}^{2} dx \int_{x}^{2} e^{-y^2} dy$的值。

[]:integrate(integrate(exp(-y\*\*2), (y, x, 2)), (x, 0, 2)).simplify()

[]:

例：计算三重积分$\iiint \limits_{\Omega} z dxdydz$其中为平面与三个坐标面，，围成的闭区域。（）

[]:plot3d(1 - x - y, (x, 0, 1), (y, 0, 1), aspect_ratio=(1, 1, 1))

C:\Users\Johan\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCache\Content.MSO\E18883DA.tmp

[]:<sympy.plotting.plot.Plot at 0x12701ba8\>

[]:integrate(integrate(integrate(z, (z, 0, 1-x-y)), (y, 0, 1-x)), (x, 0, 1))

[]:

4.8.2 重积分的应用

求曲面间围成的面积

例：求曲面$z=x^2+y^2$和$z=2-x^2-y^2$围成的体积

首先使用plot3d绘制出曲面图形:

[]:plot3d((x\*\*2+y\*\*2), (2-x\*\*2-y\*\*2))

C:\Users\Johan\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCache\Content.MSO\8B72AC8.tmp

[]:\<sympy.plotting.plot.Plot at 0x141fc6d8\>

[]:integrate(integrate(integrate(1,(z, r\*\*2, 2-r\*\*2)), (r, 0, 1)), (theta,
0, 2\*pi))

[]:

例：计算曲面$z=x^2+2y^2$和$z=6-2x^2-y^2$ 所围成体积

[]:plot3d(x\*\*2+2\*y\*\*2,3-2\*\*2-y\*\*2)

由图像可知，所求体积$V=\int \limits_D (3-2x^2-y^2-(x^2+2y^2) d\sigma$，其中积分区域$D={(x, y)|x^2+y^2<2}$。使用极坐标计算此积分，$V=\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{\sqrt{2}} (6r - 3r3) dr$

integrate(integrate(integrate(6\*r-r\*r\*\*3, (r, 0, sqrt(2)), (theta, 0,
2\*pi))

例：求$\iint \limits_{D} \left ( x^2+y \right ) dxdy$, 其中$D$是由抛物线$y=x^2$和$x=y^2$所围平面闭区域。

[]:integrate(integrate(x\*\*2+y, (y, x\*\*2, sqrt(x))), (x,0,1))

[]:

曲线积分

例：设L为$\begin{cases} x & = e^t + 1\\ y & = e^t - 1 \end{cases}$ 从t=0到$\log 2$的一段弧，求曲线面积$\int \limits_L xdx + ydy$

[]:from sympy import Curve, line_integrate, E, ln

from sympy.abc import x, y, t

*[]:C = Curve([E\*\*t + 1, E\*\*t - 1], (t, 0, ln(2)))*

*line_integrate(x + y, C, [x, y])*

[]:

曲面积分

例：计算$\iint \limits_{\Sigma} x^2dydz + y^2 dzdx + zdxdy$，其中$\Sigma$是旋转抛物面$z=1-x^2-y^2(z\ge 0$的上侧。

接下来，我们二重积分化为三重积分。首先需要补面：$\Sigma': x^2+y^2\le1, z=0$,与$\Sigma$围成封闭区域$\Sigma$。然后，使用Gauss公式进行计算。原积分 $=\iint_{\sigma'+\sigma} - \iint^{'}_{\Sigma}= \iiint_{\Omega} - \iint^{'}_{\Sigma'}$,

其中,$\int_{\Omega} \left ( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right ) dxdydz =\iiint_{\Omega} \left ( 2x+2y+1 \right ) dxdydz$, $\iint^{'}_{\Sigma} x^2dydz + y^2 dzdx + zdxdy = 0$ 化三重积分为三次积分：

$$\iiint_{\Omega} \left ( 2x+2y+1 \right ) dxdydz = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r dr \int_{0}^{1-r^2} (2r \cos \theta + 2r \sin \theta + 1) dz$$

在Jupyter Lab中对该积分进行计算：

*[]:integrate(integrate(integrate((2\*r\*cos(theta)+2\*r\*sin(theta)+1)\*r*

*, (z3,0, 1-r\*\*2)), (r, 0, 1)), (theta, 0, 2\*pi))*

[]: