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# 4.8 重积分

## 4.8.1 重积分的计算

在Integrate()函数中嵌套多层Integrate()函数可以对重积分进行计算。

例：计算积分$$\int\_{0}^{2} dx \int\_{x}^{2} e^{-y^2} dy$$的值。

```python
[]:integrate(integrate(exp(-y\*\*2), (y, x, 2)), (x, 0, 2)).simplify()
```

\[]:![](/files/zJIk8lKEXxis7P2OkS5m)

例：计算三重积分$$\iiint \limits\_{\Omega} z dxdydz$$其中为平面与三个坐标面，，围成的闭区域。（）

```python
[]:plot3d(1 - x - y, (x, 0, 1), (y, 0, 1), aspect_ratio=(1, 1, 1))
```

![C:\Users\Johan\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCache\Content.MSO\E18883DA.tmp](/files/MFwCiveSkkWGvlnrqhrQ)

```python
[]:<sympy.plotting.plot.Plot at 0x12701ba8\>

[]:integrate(integrate(integrate(z, (z, 0, 1-x-y)), (y, 0, 1-x)), (x, 0, 1))
```

![](/files/Cb4myfLJMcy1WB1UuwON)\[]:

## 4.8.2 重积分的应用

### 求曲面间围成的面积

例：求曲面$$z=x^2+y^2$$和$$z=2-x^2-y^2$$围成的体积

首先使用plot3d绘制出曲面图形:

```python
[]:plot3d((x\*\*2+y\*\*2), (2-x\*\*2-y\*\*2))
```

![C:\Users\Johan\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCache\Content.MSO\8B72AC8.tmp](/files/gSvHLtJqNDJ6D2V8UlX5)

```python
[]:\<sympy.plotting.plot.Plot at 0x141fc6d8\>

[]:integrate(integrate(integrate(1,(z, r\*\*2, 2-r\*\*2)), (r, 0, 1)), (theta,
0, 2\*pi))
```

\[]:![](/files/zrmaQO1ZRb73pvJhlMfW)

例：计算曲面$$z=x^2+2y^2$$和$$z=6-2x^2-y^2$$ 所围成体积

```python
[]:plot3d(x\*\*2+2\*y\*\*2,3-2\*\*2-y\*\*2)
```

由图像可知，所求体积$$V=\int \limits\_D (3-2x^2-y^2-(x^2+2y^2) d\sigma$$，其中积分区域$$D={(x, y)|x^2+y^2<2}$$。使用极坐标计算此积分，$$V=\int\_{0}^{2\pi}d\theta \int\_{0}^{\sqrt{2}} (6r - 3r3) dr$$

```python
integrate(integrate(integrate(6\*r-r\*r\*\*3, (r, 0, sqrt(2)), (theta, 0,
2\*pi))
```

例：求$$\iint \limits\_{D} \left ( x^2+y \right ) dxdy$$, 其中$$D$$是由抛物线$$y=x^2$$和$$x=y^2$$所围平面闭区域。

```python
[]:integrate(integrate(x\*\*2+y, (y, x\*\*2, sqrt(x))), (x,0,1))
```

\[]:![](/files/6z0OtNTzIA6ozOBtllpJ)

### 曲线积分

例：设L为$$\begin{cases} x & = e^t + 1\ y & = e^t - 1 \end{cases}$$ 从t=0到$$\log 2$$的一段弧，求曲线面积$$\int \limits\_L xdx + ydy$$

```python
[]:from sympy import Curve, line_integrate, E, ln

from sympy.abc import x, y, t

*[]:C = Curve([E\*\*t + 1, E\*\*t - 1], (t, 0, ln(2)))*

*line_integrate(x + y, C, [x, y])*
```

\[]: ![](/files/xJ5UedSMw38Hph3vZ3KE)

### 曲面积分

例：计算$$\iint \limits\_{\Sigma} x^2dydz + y^2 dzdx + zdxdy$$，其中$$\Sigma$$是旋转抛物面$$z=1-x^2-y^2(z\ge 0$$的上侧。

接下来，我们二重积分化为三重积分。首先需要补面：$$\Sigma': x^2+y^2\le1, z=0$$,与$$\Sigma$$围成封闭区域$$\Sigma$$。然后，使用Gauss公式进行计算。原积分 $$=\iint\_{\sigma'+\sigma} - \iint^{'}*{\Sigma}= \iiint*{\Omega} - \iint^{'}\_{\Sigma'}$$,

其中,$$\int\_{\Omega} \left ( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right ) dxdydz =\iiint\_{\Omega} \left ( 2x+2y+1 \right ) dxdydz$$, $$\iint^{'}\_{\Sigma} x^2dydz + y^2 dzdx + zdxdy = 0$$ 化三重积分为三次积分：

$$
\iiint\_{\Omega} \left ( 2x+2y+1 \right ) dxdydz = \int\_{0}^{2\pi} \int\_{0}^{1} r dr \int\_{0}^{1-r^2} (2r \cos \theta + 2r \sin \theta + 1) dz
$$

在Jupyter Lab中对该积分进行计算：

```python
*[]:integrate(integrate(integrate((2\*r\*cos(theta)+2\*r\*sin(theta)+1)\*r*

*, (z3,0, 1-r\*\*2)), (r, 0, 1)), (theta, 0, 2\*pi))*

```

\[]: ![](/files/sFlqM1MtmJwNG9g8QiZ3)