4.1 极限与连续

我们前面讨论的数学多从多项式的角度出发，从这章起，我们将接触抽象的函数符号计算。我们通过Function构造函数，可以创建一个未知函数符号。

f=Functions(‘f’)

可以通过向symbols函数中传入cls参数来创建未知函数符号。

f = symbols('f', cls=Function)

例9.x 作图观察，$f(x)= \sin \frac{x}{e^{x^2}-1}$在时函数的走向

[]:f=Lambda(x, sin(x)/(exp(x\*\*2)-1))

plot(f(x), ylim=(-4, 4))

[]: f=Lambda(x, sin(x)/(exp(x\*\*2)-1))

plot(f(x), ylim=(-4, 4))

例9.x 求极限 $\lim \limits_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}=1$

[]:f=Lambda(x, (exp(x)-1)/x)

limit(f(x), x, oo)

[]:∞

例9.x 求函数$$g(x)= \begin{cases} x^2 - 6, & x\le q \ 2x - 1, & x\geq 3 \end{cases}

在x=3处的极限。（不存在） ```python []:f1=Lambda(x, x\*\*2-6) f2=Lambda(x, 2\*x-1) Eq(limit(f1(x), x, 3, '-'), f2(3)) []:False ``` 例9.x 设$$x_1=1,x_{n+1} = \frac{3+3x_n}{3+x_n} $$,求数列的极限。（$$\sqrt{3}$$） 我们可以通过向symbols函数中传入Interger参数来创建整数符号。 ```python k=symbols('k', integer=True) []:f=Lambda(x, (3+3\*x)/(3+x)) x1=1 for i in range(1000): x1=f(x1) x1.evalf() []:1.73205080756888 ``` 例9.x 判断函数$$f(x)= \begin{cases} x, & -1 \leq x\leq 1 \\ 1, & x\ge1 \text{or} x\le -1 \end{cases}

在x=-1时是否连续。（不连续）

[]:f1=Lambda(x, x)

limit(f1(x), x, -1, '-'), 1

[]:(-1, 1)

因为f(x)在x=-1处的左极限为1，而f(-1)=-1，因此f(x)在x=-1处不连续。x=-1是跳跃间断点。