# 4.3 积分

使用Integrate()函数可以轻松完成各种积分的运算，Integrate()函数的使用方法如下：

Integrate(expressions, (integration\_variable\[, lower\_limit, upper\_limit])

其中第一个参数为待积分的表达式，第二个参数是以元组形式传入积分变量以及其上下界。

## 4.3.1 不定积分

当Integrate()函数第二个参数不传入积分上下界时，默认计算表达式的不定积分：

例：求不定积分 $$\int \frac{\arctan{\sqrt{x}}}{(1+x)\sqrt{x}}$$。

```python
[]:f=Lambda(x, atan(sqrt(x))/((1+x)\*sqrt(x)))

integrate(f(x), x)
```

\[]:![](/files/Ue1OaS8z4mJ1wF8fc02y)

## 4.3.2 定积分

当Integrate()函数第二个参数传入积分上下界时，默认计算表达式在给定范围内的定积分：

例：求定积分$$\int\_{0}^{log 2} e^{-x} dx$$

```python
[]:integrate(exp(-x), (x, 0, log(2)))
```

\[]:![](/files/WCL09BhPyGvMdaDpowlk)

除了使用Integrate()函数计算函数的定积分以外，还可以使用高斯-勒让德公式公式来求待积分函数在给定区间上的定积分。

在区间$$\[-1,1],\[-1,1]$$上，高斯-勒让德求积公式为： $$\int\_{-1}^{1} f(x) dx \approx \sum\_{k=0}^{n} A\_k f{x\_k}$$ Gass点系数都有表可以查询。

使用sympy.integrals.quadrature.gauss\_legendre()函数可以查询分布在区间上的高斯点以及对应的高斯系数。

gauss\_legendre()函数的使用方法如下：

```python
sympy.integrals.quadrature.**gauss_legendre**(*n*，*n_digits*)
```

其中n为高斯点的个数，n\_digits为返回的点数和权重的有效位数的个数，该函数返回一个二元组\*\*(x, w)\*\* : x和w是浮点数的点和权值列表。

例：使用高斯勒让德公式求定积分$$\int\_{-1}^{1} \sqrt{16+6x-x^2}$$的值

在本例中，我们先使用gass\_legendre生成10个高斯点以及对应的高斯系数，然后使用求和函数球的使用高斯-勒让德公式求出的积分值。

```python
[]:from sympy.integrals.quadrature import gauss_legendre

n_point=10

xi, wi = gauss\_legendre(n_point, 5)

print(xi, wi)

[]:[-0.97391, -0.86506, -0.67941, -0.43340, -0.14887, 0.14887, 0.43340, 0.67941,
0.86506, 0.97391] [0.066671, 0.14945, 0.21909, 0.26927, 0.29552, 0.29552,
0.26927, 0.21909, 0.14945, 0.066671]

[]:f=Lambda(x, sqrt(16+6\*x-x\*\*2))

gauss_sum=0

for i in range(0, n_point):

gauss_sum=wi[i]\*f(xi[i])+gauss_sum

gauss_sum
```

\[]:![](/files/W8tVUmXlw44NimEOvbBv)

gauss\_legendre()函数生成的高斯点分布在区间上，使用线性变换： $$x = \frac{b-a}{2} t + \frac{a+b}{2}$$ 可以将积分区间从变成，由定积分的换元法有： $$\int\_{a}^{b}f(x) dx = \frac{b-a}{2} \int\_{-1}^{1} f(\frac{b-a}{2} t + \frac{a+b}{2}) dt$$这样就可以使用高斯-勒让德公式计算一般区间的积分。

## 4.3.3 广义积分

求广义积分的方法与求定积分的方法是相同而，不同的是广义积分的计算结果有可能是无穷——$$\infty$$。

## 4.3.4 无穷积分

例：计算积分$$\int\_{0}^{+\infty} e^{-x^2} dx$$

```python
[]:integrate(exp(-x\*\*2), (x, 0, oo))
```

\[]:![](/files/IPHHCW4Xr12g2K4srGlM)

## 4.4.5 瑕积分

例：判断广义积分$$\int\_0^2 \frac{1}{(1-x)^2}$$的敛散性

```python
[]:integrate(1/(1-x)\*\*2, (x, 0, 2))
```

\[]:![](/files/934lizfaswjGUbxzIf2s)


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